如何高效解决接雨水问题

labuladong原创设计双指针约 2230 字

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已完成网站教程、网站习题、配套插件中所有多语言代码的校准，解决了之前 chatGPT 翻译可能出错的问题~

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode	力扣	难度
11. Container With Most Water	11. 盛最多水的容器	🟠
42. Trapping Rain Water	42. 接雨水	🔴

前置知识

阅读本文前，你需要先学习：

数组双指针技巧汇总

力扣第 42 题「接雨水」挺有意思，在面试题中出现频率还挺高的，本文就来步步优化，讲解一下这道题。

先看一下题目：

42. 接雨水 | 力扣 | LeetCode |

给定 n 个非负整数表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

示例 1：

输入：height = [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1]
输出：6
解释：上面是由数组 [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1] 表示的高度图，在这种情况下，可以接 6 个单位的雨水（蓝色部分表示雨水）。

示例 2：

输入：height = [4,2,0,3,2,5]
输出：9

提示：

n == height.length
1 <= n <= 2 * 10⁴
0 <= height[i] <= 10⁵

就是用一个数组表示一个条形图，问你这个条形图最多能接多少水。

java 🟢

int trap(int[] height);

cpp 🤖

int trap(vector<int>& height);

python 🤖

def trap(height: List[int]) -> int:

go 🤖

func trap(height []int) int {}

javascript 🤖

 var trap = function(height) {}

下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法，在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。

一、核心思路

所以对于这种问题，我们不要想整体，而应该去想局部；就像之前的文章写的动态规划问题处理字符串问题，不要考虑如何处理整个字符串，而是去思考应该如何处理每一个字符。

这么一想，可以发现这道题的思路其实很简单。具体来说，仅仅对于位置 i，能装下多少水呢？

能装 2 格水，因为 height[i] 的高度为 0，而这里最多能盛 2 格水，2-0=2。

为什么位置 i 最多能盛 2 格水呢？因为，位置 i 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关，我们分别称这两个柱子高度为 l_max 和 r_max；位置 i 最大的水柱高度就是 min(l_max, r_max)。

更进一步，对于位置 i，能够装的水为：

water[i] = min(
    # 左边最高的柱子
    max(height[0..i]),  
    # 右边最高的柱子
    max(height[i..end]) 
) - height[i]

这就是本问题的核心思路，我们可以简单写一个暴力算法：

java 🟢

class Solution {
    public int trap(int[] height) {
        int n = height.length;
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            int l_max = 0, r_max = 0;
            // 找右边最高的柱子
            for (int j = i; j < n; j++)
                r_max = Math.max(r_max, height[j]);
            // 找左边最高的柱子
            for (int j = i; j >= 0; j--)
                l_max = Math.max(l_max, height[j]);
            // 如果自己就是最高的话，
            // l_max == r_max == height[i]
            res += Math.min(l_max, r_max) - height[i];
        }
        return res;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int n = height.size();
        int res = 0;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            int l_max = 0, r_max = 0;
            // 找右边最高的柱子
            for (int j = i; j < n; j++)
                r_max = max(r_max, height[j]);
            // 找左边最高的柱子
            for (int j = i; j >= 0; j--)
                l_max = max(l_max, height[j]);
            // 如果自己就是最高的话，
            // l_max == r_max == height[i]
            res += min(l_max, r_max) - height[i];
        }
        return res;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        n = len(height)
        res = 0
        for i in range(1, n - 1):
            l_max, r_max = 0, 0
            # 找右边最高的柱子
            for j in range(i, n):
                r_max = max(r_max, height[j])
            # 找左边最高的柱子
            for j in range(i, -1, -1):
                l_max = max(l_max, height[j])
            # 如果自己就是最高的话，
            # l_max == r_max == height[i]
            res += min(l_max, r_max) - height[i]
        return res

go 🤖

func trap(height []int) int {
    n := len(height)
    res := 0
    for i := 1; i < n - 1; i++ {
        l_max := 0
        r_max := 0
        // 找右边最高的柱子
        for j := i; j < n; j++ {
            r_max = max(r_max, height[j])
        }
        // 找左边最高的柱子
        for j := i; j >= 0; j-- {
            l_max = max(l_max, height[j])
        }
        // 如果自己就是最高的话，
        // l_max == r_max == height[i]
        res += min(l_max, r_max) - height[i]
    }
    return res
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

func min(a, b int) int {
    if a < b {
        return a
    }
    return b
}

javascript 🤖

var trap = function(height) {
    var n = height.length;
    var res = 0;
    for (var i = 1; i < n - 1; i++) {
        var l_max = 0, r_max = 0;
        // 找右边最高的柱子
        for (var j = i; j < n; j++)
            r_max = Math.max(r_max, height[j]);
        // 找左边最高的柱子
        for (var j = i; j >= 0; j--)
            l_max = Math.max(l_max, height[j]);
        // 如果自己就是最高的话，
        // l_max == r_max == height[i]
        res += Math.min(l_max, r_max) - height[i];
    }
    return res;
};

有之前的思路，这个解法应该是很直接粗暴的，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。但是很明显这种计算 r_max 和 l_max 的方式非常笨拙，一般的优化方法就是备忘录。

二、备忘录优化

之前的暴力解法，不是在每个位置 i 都要计算 r_max 和 l_max 吗？我们直接把结果都提前计算出来，别傻不拉几的每次都遍历，这时间复杂度不就降下来了嘛。

我们开两个数组 r_max 和 l_max 充当备忘录，l_max[i] 表示位置 i 左边最高的柱子高度，r_max[i] 表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组计算好，避免重复计算：

java 🟢

class Solution {
    public int trap(int[] height) {
        if (height.length == 0) {
            return 0;
        }
        int n = height.length;
        int res = 0;
        // 数组充当备忘录
        int[] l_max = new int[n];
        int[] r_max = new int[n];
        // 初始化 base case
        l_max[0] = height[0];
        r_max[n - 1] = height[n - 1];
        // 从左向右计算 l_max
        for (int i = 1; i < n; i++)
            l_max[i] = Math.max(height[i], l_max[i - 1]);
        // 从右向左计算 r_max
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
            r_max[i] = Math.max(height[i], r_max[i + 1]);
        // 计算答案
        for (int i = 1; i < n - 1; i++)
            res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
        return res;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        if (height.size() == 0) {
            return 0;
        }
        int n = height.size();
        int res = 0;
        // 数组充当备忘录
        vector<int> l_max(n);
        vector<int> r_max(n);
        // 初始化 base case
        l_max[0] = height[0];
        r_max[n - 1] = height[n - 1];
        // 从左向右计算 l_max
        for (int i = 1; i < n; i++)
            l_max[i] = max(height[i], l_max[i - 1]);
        // 从右向左计算 r_max
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
            r_max[i] = max(height[i], r_max[i + 1]);
        // 计算答案
        for (int i = 1; i < n - 1; i++)
            res += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
        return res;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        if len(height) == 0:
            return 0
        n = len(height)
        res = 0
        # 数组充当备忘录
        l_max = [0] * n
        r_max = [0] * n
        # 初始化 base case
        l_max[0] = height[0]
        r_max[n - 1] = height[n - 1]
        # 从左向右计算 l_max
        for i in range(1, n):
            l_max[i] = max(height[i], l_max[i - 1])
        # 从右向左计算 r_max
        for i in range(n - 2, -1, -1):
            r_max[i] = max(height[i], r_max[i + 1])
        # 计算答案
        for i in range(1, n - 1):
            res += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i] 
        return res

go 🤖

func trap(height []int) int {
    if len(height) == 0 {
        return 0
    }
    n := len(height)
    res := 0
    // 数组充当备忘录
    l_max := make([]int, n)
    r_max := make([]int, n)
    // 初始化 base case
    l_max[0] = height[0]
    r_max[n-1] = height[n-1]
    // 从左向右计算 l_max
    for i := 1; i < n; i++ {
        l_max[i] = max(height[i], l_max[i-1])
    }
    // 从右向左计算 r_max
    for i := n-2; i >= 0; i-- {
        r_max[i] = max(height[i], r_max[i+1])
    }
    // 计算答案
    for i := 1; i < n-1; i++ {
        res += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i]
    }
    return res
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

func min(a, b int) int {
    if a < b {
        return a
    }
    return b
}

javascript 🤖

var trap = function(height) {
    if (height.length === 0) {
        return 0;
    }
    var n = height.length;
    var res = 0;
    // 数组充当备忘录
    var l_max = new Array(n).fill(0);
    var r_max = new Array(n).fill(0);
    // 初始化 base case
    l_max[0] = height[0];
    r_max[n - 1] = height[n - 1];
    // 从左向右计算 l_max
    for (var i = 1; i < n; i++) {
        l_max[i] = Math.max(height[i], l_max[i - 1]);
    }
    // 从右向左计算 r_max
    for (var i = n - 2; i >= 0; i--) {
        r_max[i] = Math.max(height[i], r_max[i + 1]);
    }
    // 计算答案
    for (var i = 1; i < n - 1; i++) {
        res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
    }
    return res;
};

这个优化其实和暴力解法思路差不多，就是避免了重复计算，把时间复杂度降低为 O(N)，已经是最优了，但是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法，能够把空间复杂度降低到 O(1)。

三、双指针解法

我的建议

这个解法作为思路拓展，看看就好，不必过于执着最优解。因为对于大部分人，在真实的面试/笔试中，能够使用朴实无华的方法见招拆招，写出上面的解法就可以了。虽然多了一些空间复杂度，但一般判题平台还是能过的。

除非过不了所有测试用例，且你写完了其他题目还有富余的时间，再花时间针对上面的解法进行优化也不迟。

这种解法的思路是完全相同的，但在实现手法上非常巧妙，我们这次也不要用备忘录提前计算了，而是用双指针边走边算，节省下空间复杂度。

首先，看一部分代码：

java 🟢

int trap(int[] height) {
    int left = 0, right = height.length - 1;
    int l_max = 0, r_max = 0;
    
    while (left < right) {
        l_max = Math.max(l_max, height[left]);
        r_max = Math.max(r_max, height[right]);
        // 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
        left++; right--;
    }
}

cpp 🤖

int trap(vector<int>& height) {
    int left = 0, right = height.size() - 1;
    int l_max = 0, r_max = 0;

    while (left < right) {
        l_max = max(l_max, height[left]);
        r_max = max(r_max, height[right]);
        // 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
        left++; right--;
    }
}

python 🤖

def trap(height: List[int]) -> int:
    left, right = 0, len(height) - 1
    l_max, r_max = 0, 0
    
    while left < right:
        l_max = max(l_max, height[left])
        r_max = max(r_max, height[right])
        # 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
        left += 1
        right -= 1

go 🤖

func trap(height []int) int {
    left, right := 0, len(height) - 1
    l_max, r_max := 0, 0

    for left < right {
        l_max = max(l_max, height[left])
        r_max = max(r_max, height[right])
        // 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
        left++
        right--
    }
}

javascript 🤖

var trap = function(height) {
    var left = 0, right = height.length - 1;
    var l_max = 0, r_max = 0;
    
    while (left < right) {
        l_max = Math.max(l_max, height[left]);
        r_max = Math.max(r_max, height[right]);
        // 此时 l_max 和 r_max 分别表示什么？
        left++; right--;
    }
}

对于这部分代码，请问 l_max 和 r_max 分别表示什么意义呢？

很容易理解，l_max 是 height[0..left] 中最高柱子的高度，r_max 是 height[right..end] 的最高柱子的高度。

明白了这一点，直接看解法：

java 🟢

class Solution {
    public int trap(int[] height) {
        int left = 0, right = height.length - 1;
        int l_max = 0, r_max = 0;

        int res = 0;
        while (left < right) {
            l_max = Math.max(l_max, height[left]);
            r_max = Math.max(r_max, height[right]);

            // res += min(l_max, r_max) - height[i]
            if (l_max < r_max) {
                res += l_max - height[left];
                left++;
            } else {
                res += r_max - height[right];
                right--;
            }
        }
        return res;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int trap(vector<int>& height) {
        int left = 0, right = height.size() - 1;
        int l_max = 0, r_max = 0;

        int res = 0;
        while (left < right) {
            l_max = max(l_max, height[left]);
            r_max = max(r_max, height[right]);

            // res += min(l_max, r_max) - height[i]
            if (l_max < r_max) {
                res += l_max - height[left];
                left++;
            } else {
                res += r_max - height[right];
                right--;
            }
        }
        return res;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def trap(self, height: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(height) - 1
        l_max, r_max = 0, 0

        res = 0
        while left < right:
            l_max = max(l_max, height[left])
            r_max = max(r_max, height[right])

            # res += min(l_max, r_max) - height[i]
            if l_max < r_max:
                res += l_max - height[left]
                #<extend up -250>
                #<div class="img-content"><img src="/images/接雨水/5.jpg" alt class="myimage" loading="lazy" photo-swipe="" /></div>
                left += 1
            else:
                res += r_max - height[right]
                right -= 1
        return res

go 🤖

func trap(height []int) int {
    left, right := 0, len(height) - 1
    l_max, r_max := 0, 0

    res := 0
    for left < right {
        l_max = max(l_max, height[left])
        r_max = max(r_max, height[right])

        // res += min(l_max, r_max) - height[i]
        if l_max < r_max {
            res += l_max - height[left]
            left++
        } else {
            res += r_max - height[right]
            right--
        }
    }
    return res
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

javascript 🤖

var trap = function(height) {
    let left = 0, right = height.length - 1;
    let l_max = 0, r_max = 0;

    let res = 0;
    while (left < right) {
        l_max = Math.max(l_max, height[left]);
        r_max = Math.max(r_max, height[right]);

        // res += min(l_max, r_max) - height[i]
        if (l_max < r_max) {
            res += l_max - height[left];
            // <div class="img-content"><img src="/images/接雨水/5.jpg" alt class="myimage" loading="lazy" photo-swipe="" /></div>
            left++;
        } else {
            res += r_max - height[right];
            right--;
        }
    }
    return res;
};

你看，其中的核心思想和之前一模一样，换汤不换药。但是细心的读者可能会发现次解法还是有点细节差异：

之前的备忘录解法，l_max[i] 和 r_max[i] 分别代表 height[0..i] 和 height[i..end] 的最高柱子高度。

res += Math.min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];

但是双指针解法中，l_max 和 r_max 代表的是 height[0..left] 和 height[right..end] 的最高柱子高度。比如这段代码：

if (l_max < r_max) {
    res += l_max - height[left];
    left++; 
}

此时的 l_max 是 left 指针左边的最高柱子，但是 r_max 并不一定是 left 指针右边最高的柱子，这真的可以得到正确答案吗？

其实这个问题要这么思考，我们只在乎 min(l_max, r_max)。对于上图的情况，我们已经知道 l_max < r_max 了，至于这个 r_max 是不是右边最大的，不重要。重要的是 height[i] 能够装的水只和较低的 l_max 之差有关：

这样，接雨水问题就解决了。

扩展延伸

下面我们看一道和接雨水问题非常类似的题目，力扣第 11 题「盛最多水的容器」：

11. 盛最多水的容器 | 力扣 | LeetCode |

给定一个长度为 n 的整数数组 height 。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i]) 。

找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

返回容器可以储存的最大水量。

说明：你不能倾斜容器。

示例 1：

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49 
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示例 2：

输入：height = [1,1]
输出：1

提示：

n == height.length
2 <= n <= 10⁵
0 <= height[i] <= 10⁴

java 🟢

// 函数签名如下
int maxArea(int[] height);

cpp 🤖

// 函数签名如下
int maxArea(vector<int> &height);

python 🤖

# 函数签名如下
def maxArea(height: List[int]) -> int:

go 🤖

// 函数签名如下
func maxArea(height []int) int {}

javascript 🤖

// 函数签名如下
var maxArea = function(height) {}

这题和接雨水问题很类似，可以完全套用前文的思路，而且还更简单。两道题的区别在于：

接雨水问题给出的类似一幅直方图，每个横坐标都有宽度，而本题给出的每个横坐标是一条竖线，没有宽度。

我们前文讨论了半天 l_max 和 r_max，实际上都是为了计算 height[i] 能够装多少水；而本题中 height[i] 没有了宽度，那自然就好办多了。

举个例子，如果在接雨水问题中，你知道了 height[left] 和 height[right] 的高度，你能算出 left 和 right 之间能够盛下多少水吗？

不能，因为你不知道 left 和 right 之间每个柱子具体能盛多少水，你得通过每个柱子的 l_max 和 r_max 来计算才行。

反过来，就本题而言，你知道了 height[left] 和 height[right] 的高度，能算出 left 和 right 之间能够盛下多少水吗？

可以，因为本题中竖线没有宽度，所以 left 和 right 之间能够盛的水就是：

min(height[left], height[right]) * (right - left)

类似接雨水问题，高度是由 height[left] 和 height[right] 较小的值决定的。

解决这道题的思路依然是双指针技巧：

用 left 和 right 两个指针从两端向中心收缩，一边收缩一边计算 [left, right] 之间的矩形面积，取最大的面积值即是答案。

先直接看解法代码吧：

java 🟢

class Solution {
    public int maxArea(int[] height) {
        int left = 0, right = height.length - 1;
        int res = 0;
        while (left < right) {
            // [left, right] 之间的矩形面积
            int cur_area = Math.min(height[left], height[right]) * (right - left);
            res = Math.max(res, cur_area);
            // 双指针技巧，移动较低的一边
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            } else {
                right--;
            }
        }
        return res;
    }
}

cpp 🤖

class Solution {
public:
    int maxArea(vector<int>& height) {
        int left = 0, right = height.size() - 1;
        int res = 0;
        while (left < right) {
            // [left, right] 之间的矩形面积
            int cur_area = min(height[left], height[right]) * (right - left);
            res = max(res, cur_area);
            // 双指针技巧，移动较低的一边
            if (height[left] < height[right]) {
                left++;
            } else {
                right--;
            }
        }
        return res;
    }
};

python 🤖

class Solution:
    def maxArea(self, height: List[int]) -> int:
        left, right = 0, len(height) - 1
        res = 0
        while left < right:
            # [left, right] 之间的矩形面积
            cur_area = min(height[left], height[right]) * (right - left)
            res = max(res, cur_area)
            # 双指针技巧，移动较低的一边
            if height[left] < height[right]:
                left += 1
            else:
                right -= 1
        return res

go 🤖

func maxArea(height []int) int {
    left, right := 0, len(height)-1
    res := 0
    for left < right {
        // [left, right] 之间的矩形面积
        curArea := min(height[left], height[right]) * (right - left)
        res = max(res, curArea)
        // 双指针技巧，移动较低的一边
        if height[left] < height[right] {
            left++
        } else {
            right--
        }
    }
    return res
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

javascript 🤖

var maxArea = function(height) {
    let left = 0, right = height.length - 1;
    let res = 0;
    while (left < right) {
        // [left, right] 之间的矩形面积
        let cur_area = Math.min(height[left], height[right]) * (right - left);
        res = Math.max(res, cur_area);
        // 双指针技巧，移动较低的一边
        if (height[left] < height[right]) {
            left++;
        } else {
            right--;
        }
    }
    return res;
};

代码和接雨水问题大致相同，不过肯定有读者会问，下面这段 if 语句为什么要移动较低的一边：

// 双指针技巧，移动较低的一边
if (height[left] < height[right]) {
    left++;
} else {
    right--;
}

其实也好理解，因为矩形的高度是由 min(height[left], height[right]) 即较低的一边决定的：

你如果移动较低的那一边，那条边可能会变高，使得矩形的高度变大，进而就「有可能」使得矩形的面积变大；相反，如果你去移动较高的那一边，矩形的高度是无论如何都不会变大的，所以不可能使矩形的面积变得更大。

至此，这道题也解决了。

如何高效解决接雨水问题

11. 盛最多水的容器 https://leetcode.cn/problems/container-with-most-water

11. Container With Most Water https://leetcode.com/problems/container-with-most-water

42. 接雨水 https://leetcode.cn/problems/trapping-rain-water

42. Trapping Rain Water https://leetcode.com/problems/trapping-rain-water

一、核心思路

二、备忘录优化

三、双指针解法

扩展延伸