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labuladong原创排序递归分解问题的思路约 1521 字大约 5 分钟

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode力扣难度
969. Pancake Sortingopen in new window969. 煎饼排序open in new window🟠

力扣第 969 题「煎饼排序open in new window」是个很有意思的实际问题:假设盘子上有 n面积大小不一的烧饼,你如何用一把锅铲进行若干次翻转,让这些烧饼的大小有序(小的在上,大的在下)?

设想一下用锅铲翻转一堆烧饼的情景,其实是有一点限制的,我们每次只能将最上面的若干块饼子翻转:

我们的问题是,如何使用算法得到一个翻转序列,使得烧饼堆变得有序

首先,需要把这个问题抽象,用数组来表示烧饼堆:

969. 煎饼排序 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

给你一个整数数组 arr ,请使用 煎饼翻转 完成对数组的排序。

一次煎饼翻转的执行过程如下:

  • 选择一个整数 k1 <= k <= arr.length
  • 反转子数组 arr[0...k-1]下标从 0 开始

例如,arr = [3,2,1,4] ,选择 k = 3 进行一次煎饼翻转,反转子数组 [3,2,1] ,得到 arr = [1,2,3,4]

以数组形式返回能使 arr 有序的煎饼翻转操作所对应的 k 值序列。任何将数组排序且翻转次数在 10 * arr.length 范围内的有效答案都将被判断为正确。

示例 1:

输入:[3,2,4,1]
输出:[4,2,4,3]
解释:
我们执行 4 次煎饼翻转,k 值分别为 4,2,4,和 3。
初始状态 arr = [3, 2, 4, 1]
第一次翻转后(k = 4):arr = [1, 4, 2, 3]
第二次翻转后(k = 2):arr = [4, 1, 2, 3]
第三次翻转后(k = 4):arr = [3, 2, 1, 4]
第四次翻转后(k = 3):arr = [1, 2, 3, 4],此时已完成排序。 

示例 2:

输入:[1,2,3]
输出:[]
解释:
输入已经排序,因此不需要翻转任何内容。
请注意,其他可能的答案,如 [3,3] ,也将被判断为正确。

提示:

  • 1 <= arr.length <= 100
  • 1 <= arr[i] <= arr.length
  • arr 中的所有整数互不相同(即,arr 是从 1arr.length 整数的一个排列)

如何解决这个问题呢?其实类似上篇文章 递归反转链表的一部分,这也是需要递归思想的。

一、思路分析

为什么说这个问题有递归性质呢?比如说我们需要实现这样一个函数:

java 🟢
// cakes 是一堆烧饼,函数会将前 n 个烧饼排序
void sort(int[] cakes, int n);

如果我们找到了前 n 个烧饼中最大的那个,然后设法将这个饼子翻转到最底下:

那么,原问题的规模就可以减小,递归调用 pancakeSort(A, n-1) 即可:

接下来,对于上面的这 n - 1 块饼,如何排序呢?还是先从中找到最大的一块饼,然后把这块饼放到底下,再递归调用 pancakeSort(A, n-1-1)……

你看,这就是递归性质,总结一下思路就是:

1、找到 n 个饼中最大的那个。

2、把这个最大的饼移到最底下。

3、递归调用 pancakeSort(A, n - 1)

base case:n == 1 时,排序 1 个饼时不需要翻转。

那么,最后剩下个问题,如何设法将某块烧饼翻到最后呢

其实很简单,比如第 3 块饼是最大的,我们想把它换到最后,也就是换到第 n 块。可以这样操作:

1、用锅铲将前 3 块饼翻转一下,这样最大的饼就翻到了最上面。

2、用锅铲将前 n 块饼全部翻转,这样最大的饼就翻到了第 n 块,也就是最后一块。

以上两个流程理解之后,基本就可以写出解法了,不过题目要求我们写出具体的反转操作序列,这也很简单,只要在每次翻转烧饼时记录下来就行了。

二、代码实现

只要把上述的思路用代码实现即可,唯一需要注意的是,数组索引从 0 开始,而我们要返回的结果是从 1 开始算的。

java 🟢
class Solution {
    // 记录反转操作序列
    LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();

    List<Integer> pancakeSort(int[] cakes) {
        sort(cakes, cakes.length);
        return res;
    }

    void sort(int[] cakes, int n) {
        // base case
        if (n == 1) return;
        
        // 寻找最大饼的索引
        int maxCake = 0;
        int maxCakeIndex = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            if (cakes[i] > maxCake) {
                maxCakeIndex = i;
                maxCake = cakes[i];
            }
        
        // 第一次翻转,将最大饼翻到最上面
        reverse(cakes, 0, maxCakeIndex);
        res.add(maxCakeIndex + 1);
        // 第二次翻转,将最大饼翻到最下面
        reverse(cakes, 0, n - 1);
        res.add(n);/**<extend up -150><div class="img-content"><img src="/algo/images/pancakeSort/3.jpg" class="myimage"/></div> */

        // 递归调用
        sort(cakes, n - 1);/**<extend up -150><div class="img-content"><img src="/algo/images/pancakeSort/4.jpg" class="myimage"/></div> */
    }

    void reverse(int[] arr, int i, int j) {
        while (i < j) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[j];
            arr[j] = temp;
            i++; j--;
        }
    }
}

通过刚才的详细解释,这段代码应该是很清晰了。

算法的时间复杂度很容易计算,因为递归调用的次数是 n,每次递归调用都需要一次 for 循环,时间复杂度是 O(n),所以总的复杂度是 O(n^2)。

最后,我们可以思考一个问题:按照我们这个思路,得出的操作序列长度应该为 2(n - 1),因为每次递归都要进行 2 次翻转并记录操作,总共有 n 层递归,但由于 base case 直接返回结果,不进行翻转,所以最终的操作序列长度应该是固定的 2(n - 1)

显然,这个结果不是最优的(最短的),比如说一堆煎饼 [3,2,4,1],我们的算法得到的翻转序列是 [3,4,2,3,1,2],但是最快捷的翻转方法应该是 [2,3,4]

初始状态 :[3,2,4,1]
翻前 2 个:[2,3,4,1]
翻前 3 个:[4,3,2,1]
翻前 4 个:[1,2,3,4]

如果要求你的算法计算排序烧饼的最短操作序列,你该如何计算呢?或者说,解决这种求最优解法的问题,核心思路什么,一定需要使用什么算法技巧呢?

不妨分享一下你的思考。

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