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labuladong原创数学随机算法约 3968 字大约 13 分钟

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode力扣难度
382. Linked List Random Nodeopen in new window382. 链表随机节点open in new window🟠
384. Shuffle an Arrayopen in new window384. 打乱数组open in new window🟠
398. Random Pick Indexopen in new window398. 随机数索引open in new window🟠

没事儿的时候我喜欢玩玩那些经典的 2D 网页小游戏,我发现很多游戏都要涉及地图的随机生成,比如扫雷游戏中雷的位置应该是随机分布的:

再比如经典炸弹人游戏,障碍物的位置也是有一定随机性的:

这些 2D 游戏相较现在的大型 3D 游戏虽然看起来有些简陋,但依然用到很多有趣算法技巧,本文就来深入研究一下地图的随机生成算法。

2D 游戏的地图肯定可以抽象成一个二维矩阵,就拿扫雷举例吧,我们可以用下面这个类表示扫雷的棋盘:

class Game {
    int m, n;
    // 大小为 m * n 的二维棋盘
    // 值为 true 的地方代表有雷,false 代表没有雷
    boolean[][] board;
}

如果你想在棋盘中随机生成 k 个雷,也就是说你需要在 board 中生成 k 个不同的 (x, y) 坐标,且这里面 x, y 都是随机生成的。

对于这个需求,首先一个优化就是对二维矩阵进行「降维打击」,把二维数组转化成一维数组

class Game {
    int m, n;
    // 长度为 m * n 的一维棋盘
    // 值为 true 的地方代表有雷,false 代表没有雷
    boolean[] board;

    // 将二维数组中的坐标 (x, y) 转化为一维数组中的索引
    int encode(int x, int y) {
        return x * n + y;
    }

    // 将一维数组中的索引转化为二维数组中的坐标 (x, y)
    int[] decode(int index) {
        return new int[] {index / n, index % n};
    }
}

这样,我们只要在 [0, m * n) 中选取一个随机数,就相当于在二维数组中随机选取了一个元素。

但问题是,我们现在需要随机选出 k不同的位置放雷。你可能说,那在 [0, m * n) 中选出来 k 个随机数不就行了?

是的,但实际操作起来有些麻烦,因为你很难保证随机数不重复。如果出现重复的随机数,你就得再随机选一次,直到找到 k 个不同的随机数。

如果 k 比较小 m * n 比较大,那出现重复随机数的概率还比较低,但如果 km * n 的大小接近,那么出现重复随机数的概率非常高,算法的效率就会大幅下降。

那么,我们有没有更好的办法能够在线性的时间复杂度解决这个问题?其实是有的,而且有很多种解决方案。

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