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labuladong原创数学位运算约 2817 字大约 9 分钟

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读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode力扣难度
136. Single Numberopen in new window136. 只出现一次的数字open in new window🟢
191. Number of 1 Bitsopen in new window191. 位1的个数open in new window🟢
231. Power of Twoopen in new window231. 2 的幂open in new window🟢
268. Missing Numberopen in new window268. 丢失的数字open in new window🟢
-剑指 Offer 15. 二进制中1的个数open in new window🟢

位操作(Bit Manipulation)可以有很多技巧,有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法,网址如下:

http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.htmlopen in new window

但是这些技巧大部分都过于晦涩,我觉得可以作为字典查阅,没必要逐条深究。但我认为那些有趣的、有用的位运算技巧,是我们每个人需要掌握的。

所以本文由浅入深,先展示几个有趣(但没卵用)的位运算技巧,然后再汇总一些在算法题以及工程开发中常用的位运算技巧。

一、几个有趣的位操作

  1. 利用或操作 | 和空格将英文字符转换为小写
('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'
  1. 利用与操作 & 和下划线将英文字符转换为大写
('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'
  1. 利用异或操作 ^ 和空格进行英文字符大小写互换
('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'

以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字,恰巧空格和下划线对应的数字通过位运算就能改变大小写。有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算,本文就不展开讲了。

  1. 不用临时变量交换两个数
int a = 1, b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
// 现在 a = 2, b = 1
  1. 加一
int n = 1;
n = -~n;
// 现在 n = 2
  1. 减一
int n = 2;
n = ~-n;
// 现在 n = 1
  1. 判断两个数是否异号
int x = -1, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // true

int x = 3, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // false

如果说前 6 个技巧的用处不大,这第 7 个技巧还是比较实用的,利用的是补码编码的符号位。整数编码最高位是符号位,负数的符号位是 1,非负数的符号位是 0,再借助异或的特性,可以判断出两个数字是否异号。

当然,如果不用位运算来判断是否异号,需要使用 if else 分支,还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号,但是这种处理方式容易造成整型溢出,从而出现错误。

index & (arr.length - 1) 的运用

我在 单调栈解题套路 中介绍过环形数组,其实就是利用求模(余数)的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形,永远都走不完:

java 🟢
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index % arr.length]);
    index++;
}
// 输出:1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...

但模运算 % 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作,所以我们可以用 & 运算来求余数:

java 🟢
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
    index++;
}
// 输出:1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...

注意这个技巧只适用于数组长度是 2 的幂次方的情况,比如 2、4、8、16、32 以此类推。至于如何将数组长度扩展为 2 的幂次方,这也是有比较巧妙的位运算算法的,可以参考 https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#RoundUpPowerOf2open in new window

简单说,& (arr.length - 1) 这个位运算能够替代 % arr.length 的模运算,性能会更好一些。

那问题来了,现在是不断地 index++,你做到了循环遍历。但如果不断地 index--,还能做到环形数组的效果吗?

答案是,如果你使用 % 求模的方式,那么当 index 小于 0 之后求模的结果也会出现负数,你需要特殊处理。但通过 & 与运算的方式,index 不会出现负数,依然可以正常工作:

java 🟢
int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
    index--;
}
// 输出:1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...

我们自己写代码一般用不到这个技巧,但在学习一些其他代码库时可能会经常看到,这里留个印象,到时候就不会懵逼了。

二、n & (n-1) 的运用

n & (n-1) 这个操作在算法中比较常见,作用是消除数字 n 的二进制表示中的最后一个 1

看个图就很容易理解了:

其核心逻辑就是,n - 1 一定可以消除最后一个 1,同时把其后的 0 都变成 1,这样再和 n 做一次 & 运算,就可以仅仅把最后一个 1 变成 0 了。

1、计算汉明权重(Hamming Weight)

这是力扣第 191 题「位 1 的个数open in new window」:

191. 位1的个数 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

编写一个函数,输入是一个无符号整数(以二进制串的形式),返回其二进制表达式中数字位数为 '1' 的个数(也被称为汉明重量)。

提示:

  • 请注意,在某些语言(如 Java)中,没有无符号整数类型。在这种情况下,输入和输出都将被指定为有符号整数类型,并且不应影响您的实现,因为无论整数是有符号的还是无符号的,其内部的二进制表示形式都是相同的。
  • 在 Java 中,编译器使用二进制补码记法来表示有符号整数。因此,在 示例 3 中,输入表示有符号整数 -3

示例 1:

输入:n = 00000000000000000000000000001011
输出:3
解释:输入的二进制串 00000000000000000000000000001011 中,共有三位为 '1'。

示例 2:

输入:n = 00000000000000000000000010000000
输出:1
解释:输入的二进制串 00000000000000000000000010000000 中,共有一位为 '1'。

示例 3:

输入:n = 11111111111111111111111111111101
输出:31
解释:输入的二进制串 11111111111111111111111111111101 中,共有 31 位为 '1'。

提示:

  • 输入必须是长度为 32二进制串

进阶

  • 如果多次调用这个函数,你将如何优化你的算法?

就是让你返回 n 的二进制表示中有几个 1。因为 n & (n - 1) 可以消除最后一个 1,所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数,直到 n 变成 0 为止。

java 🟢
int hammingWeight(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        n = n & (n - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

2、判断一个数是不是 2 的指数

力扣第 231 题「2 的幂open in new window」就是这个问题。

一个数如果是 2 的指数,那么它的二进制表示一定只含有一个 1:

2^0 = 1 = 0b0001
2^1 = 2 = 0b0010
2^2 = 4 = 0b0100

如果使用 n & (n-1) 的技巧就很简单了(注意运算符优先级,括号不可以省略):

java 🟢
boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n <= 0) return false;
    return (n & (n - 1)) == 0;
}

三、a ^ a = 0 的运用

异或运算的性质是需要我们牢记的:

一个数和它本身做异或运算结果为 0,即 a ^ a = 0;一个数和 0 做异或运算的结果为它本身,即 a ^ 0 = a

1、查找只出现一次的元素

这是力扣第 136 题「只出现一次的数字open in new window」:

136. 只出现一次的数字 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

给你一个 非空 整数数组 nums ,除了某个元素只出现一次以外,其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

你必须设计并实现线性时间复杂度的算法来解决此问题,且该算法只使用常量额外空间。

示例 1 :

输入:nums = [2,2,1]
输出:1

示例 2 :

输入:nums = [4,1,2,1,2]
输出:4

示例 3 :

输入:nums = [1]
输出:1

提示:

  • 1 <= nums.length <= 3 * 104
  • -3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104
  • 除了某个元素只出现一次以外,其余每个元素均出现两次。

对于这道题目,我们只要把所有数字进行异或,成对儿的数字就会变成 0,落单的数字和 0 做异或还是它本身,所以最后异或的结果就是只出现一次的元素:

java 🟢
int singleNumber(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums) {
        res ^= n;
    }
    return res;
}

2、寻找缺失的元素

这是力扣第 268 题「丢失的数字open in new window」:

268. 丢失的数字 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

给定一个包含 [0, n] 中 n 个数的数组 nums ,找出 [0, n] 这个范围内没有出现在数组中的那个数。

示例 1:

输入:nums = [3,0,1]
输出:2
解释:n = 3,因为有 3 个数字,所以所有的数字都在范围 [0,3] 内。2 是丢失的数字,因为它没有出现在 nums 中。

示例 2:

输入:nums = [0,1]
输出:2
解释:n = 2,因为有 2 个数字,所以所有的数字都在范围 [0,2] 内。2 是丢失的数字,因为它没有出现在 nums 中。

示例 3:

输入:nums = [9,6,4,2,3,5,7,0,1]
输出:8
解释:n = 9,因为有 9 个数字,所以所有的数字都在范围 [0,9] 内。8 是丢失的数字,因为它没有出现在 nums 中。

示例 4:

输入:nums = [0]
输出:1
解释:n = 1,因为有 1 个数字,所以所有的数字都在范围 [0,1] 内。1 是丢失的数字,因为它没有出现在 nums 中。

提示:

  • n == nums.length
  • 1 <= n <= 104
  • 0 <= nums[i] <= n
  • nums 中的所有数字都 独一无二

进阶:你能否实现线性时间复杂度、仅使用额外常数空间的算法解决此问题?

给一个长度为 n 的数组,其索引应该在 [0,n),但是现在你要装进去 n + 1 个元素 [0,n],那么肯定有一个元素装不下嘛,请你找出这个缺失的元素。

这道题不难的,我们应该很容易想到,把这个数组排个序,然后遍历一遍,不就很容易找到缺失的那个元素了吗?

或者说,借助数据结构的特性,用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来,再遍历 [0,n] 之间的数字,去 HashSet 中查询,也可以很容易查出那个缺失的元素。

排序解法的时间复杂度是 O(NlogN),HashSet 的解法时间复杂度是 O(N),但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。

这个问题其实还有一个特别简单的解法:等差数列求和公式。

题目的意思可以这样理解:现在有个等差数列 0, 1, 2,..., n,其中少了某一个数字,请你把它找出来。那这个数字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛?

java 🟢
int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 虽然题目给的数据范围不大,但严谨起见,用 long 类型防止整型溢出
    // 求和公式:(首项 + 末项) * 项数 / 2
    long expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;
    long sum = 0;
    for (int x : nums) {
        sum += x;
    }
    return (int)(expect - sum);
}

不过,本文的主题是位运算,我们来讲讲如何利用位运算技巧来解决这道题。

再回顾一下异或运算的性质:一个数和它本身做异或运算结果为 0,一个数和 0 做异或运算还是它本身。

而且异或运算满足交换律和结合律,也就是说:

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素,比如说 nums = [0,3,1,4]

为了容易理解,我们假设先把索引补一位,然后让每个元素和自己相等的索引相对应:

这样做了之后,就可以发现除了缺失元素之外,所有的索引和元素都组成一对儿了,现在如果把这个落单的索引 2 找出来,也就找到了缺失的那个元素。

如何找这个落单的数字呢,只要把所有的元素和索引做异或运算,成对儿的数字都会消为 0,只有这个落单的元素会剩下,也就达到了我们的目的:

java 🟢
int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新补的索引异或一下
    res ^= n;
    // 和其他的元素、索引做异或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

由于异或运算满足交换律和结合律,所以总是能把成对儿的数字消去,留下缺失的那个元素。

到这里,常见的位运算差不多都讲完了。这些技巧就是会者不难难者不会,也不需要死记硬背,只要有个印象就完全够用了。


引用本文的文章


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LeetCode力扣
389. Find the Differenceopen in new window389. 找不同open in new window
-剑指 Offer 15. 二进制中1的个数open in new window

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