跳至主要內容

 

labuladong原创数据结构二叉树分解问题的思路约 3317 字大约 11 分钟

Info

新版网站会员open in new window 限时优惠;算法可视化编辑器上线,点击体验open in new window

读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode力扣难度
114. Flatten Binary Tree to Linked Listopen in new window114. 二叉树展开为链表open in new window🟠
116. Populating Next Right Pointers in Each Nodeopen in new window116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针open in new window🟠
226. Invert Binary Treeopen in new window226. 翻转二叉树open in new window🟢
-剑指 Offer 27. 二叉树的镜像open in new window🟢

Tip

本文有视频版:二叉树/递归的框架思维(纲领篇)open in new window。建议关注我的 B 站账号,我会用视频领读的方式带大家学习那些稍有难度的算法技巧。

本文承接 东哥带你刷二叉树(纲领篇),先复述一下前文总结的二叉树解题总纲:

二叉树解题的思维模式分两类:

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案?如果可以,用一个 traverse 函数配合外部变量来实现,这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数,通过子问题(子树)的答案推导出原问题的答案?如果可以,写出这个递归函数的定义,并充分利用这个函数的返回值,这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式,你都需要思考:

如果单独抽出一个二叉树节点,它需要做什么事情?需要在什么时候(前/中/后序位置)做?其他的节点不用你操心,递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

本文就以几道比较简单的题目为例,带你实践运用这几条总纲,理解「遍历」的思维和「分解问题」的思维有何区别和联系。

第一题、翻转二叉树

我们先从简单的题开始,看看力扣第 226 题「翻转二叉树open in new window」,输入一个二叉树根节点 root,让你把整棵树镜像翻转,比如输入的二叉树如下:

     4
   /   \
  2     7
 / \   / \
1   3 6   9

算法原地翻转二叉树,使得以 root 为根的树变成:

     4
   /   \
  7     2
 / \   / \
9   6 3   1

不难发现,只要把二叉树上的每一个节点的左右子节点进行交换,最后的结果就是完全翻转之后的二叉树。

那么现在开始在心中默念二叉树解题总纲:

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

可以,我写一个 traverse 函数遍历每个节点,让每个节点的左右子节点颠倒过来就行了。

单独抽出一个节点,需要让它做什么?让它把自己的左右子节点交换一下。

需要在什么时候做?好像前中后序位置都可以。

综上,可以写出如下解法代码:

java 🟢
// 主函数
TreeNode invertTree(TreeNode root) {
    // 遍历二叉树,交换每个节点的子节点
    traverse(root);
    return root;
}

// 二叉树遍历函数
void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }

    /**** 前序位置 ****/
    // 每一个节点需要做的事就是交换它的左右子节点
    TreeNode tmp = root.left;
    root.left = root.right;
    root.right = tmp;

    // 遍历框架,去遍历左右子树的节点
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

你把前序位置的代码移到后序位置也可以,但是直接移到中序位置是不行的,需要稍作修改,这应该很容易看出来吧,我就不说了。

按理说,这道题已经解决了,不过为了对比,我们再继续思考下去。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

我们尝试给 invertTree 函数赋予一个定义:

java 🟢
// 定义:将以 root 为根的这棵二叉树翻转,返回翻转后的二叉树的根节点
TreeNode invertTree(TreeNode root);

然后思考,对于某一个二叉树节点 x 执行 invertTree(x),你能利用这个递归函数的定义做点啥?

我可以用 invertTree(x.left) 先把 x 的左子树翻转,再用 invertTree(x.right)x 的右子树翻转,最后把 x 的左右子树交换,这恰好完成了以 x 为根的整棵二叉树的翻转,即完成了 invertTree(x) 的定义。

直接写出解法代码:

java 🟢
// 定义:将以 root 为根的这棵二叉树翻转,返回翻转后的二叉树的根节点
TreeNode invertTree(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return null;
    }
    // 利用函数定义,先翻转左右子树
    TreeNode left = invertTree(root.left);
    TreeNode right = invertTree(root.right);

    // 然后交换左右子节点
    root.left = right;
    root.right = left;

    // 和定义逻辑自恰:以 root 为根的这棵二叉树已经被翻转,返回 root
    return root;
}

这种「分解问题」的思路,核心在于你要给递归函数一个合适的定义,然后用函数的定义来解释你的代码;如果你的逻辑成功自恰,那么说明你这个算法是正确的。

好了,这道题就分析到这,「遍历」和「分解问题」的思路都可以解决,看下一道题。

第二题、填充节点的右侧指针

这是力扣第 116 题「填充每个二叉树节点的右侧指针open in new window」,看下题目:

116. 填充每个节点的下一个右侧节点指针 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

给定一个 完美二叉树 ,其所有叶子节点都在同一层,每个父节点都有两个子节点。二叉树定义如下:

struct Node {
  int val;
  Node *left;
  Node *right;
  Node *next;
}

填充它的每个 next 指针,让这个指针指向其下一个右侧节点。如果找不到下一个右侧节点,则将 next 指针设置为 NULL

初始状态下,所有 next 指针都被设置为 NULL

示例 1:

输入:root = [1,2,3,4,5,6,7]
输出:[1,#,2,3,#,4,5,6,7,#]
解释:给定二叉树如图 A 所示,你的函数应该填充它的每个 next 指针,以指向其下一个右侧节点,如图 B 所示。序列化的输出按层序遍历排列,同一层节点由 next 指针连接,'#' 标志着每一层的结束。

示例 2:

输入:root = []
输出:[]

提示:

  • 树中节点的数量在 [0, 212 - 1] 范围内
  • -1000 <= node.val <= 1000

进阶:

  • 你只能使用常量级额外空间。
  • 使用递归解题也符合要求,本题中递归程序占用的栈空间不算做额外的空间复杂度。

函数签名如下:

java 🟢
Node connect(Node root);

题目的意思就是把二叉树的每一层节点都用 next 指针连接起来:

而且题目说了,输入是一棵「完美二叉树」,形象地说整棵二叉树是一个正三角形,除了最右侧的节点 next 指针会指向 null,其他节点的右侧一定有相邻的节点。

这道题怎么做呢?来默念二叉树解题总纲:

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

很显然,一定可以。

每个节点要做的事也很简单,把自己的 next 指针指向右侧节点就行了。

也许你会模仿上一道题,直接写出如下代码:

java 🟢
// 二叉树遍历函数
void traverse(Node root) {
    if (root == null || root.left == null) {
        return;
    }
    // 把左子节点的 next 指针指向右子节点
    root.left.next = root.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是,这段代码其实有很大问题,因为它只能把相同父节点的两个节点穿起来,再看看这张图:

节点 5 和节点 6 不属于同一个父节点,那么按照这段代码的逻辑,它俩就没办法被穿起来,这是不符合题意的,但是问题出在哪里?

传统的 traverse 函数是遍历二叉树的所有节点,但现在我们想遍历的其实是两个相邻节点之间的「空隙」

所以我们可以在二叉树的基础上进行抽象,你把图中的每一个方框看做一个节点:

这样,一棵二叉树被抽象成了一棵三叉树,三叉树上的每个节点就是原先二叉树的两个相邻节点

现在,我们只要实现一个 traverse 函数来遍历这棵三叉树,每个「三叉树节点」需要做的事就是把自己内部的两个二叉树节点穿起来:

java 🟢
// 主函数
Node connect(Node root) {
    if (root == null) return null;
    // 遍历「三叉树」,连接相邻节点
    traverse(root.left, root.right);
    return root;
}

// 三叉树遍历框架
void traverse(Node node1, Node node2) {
    if (node1 == null || node2 == null) {
        return;
    }
    /**** 前序位置 ****/
    // 将传入的两个节点穿起来
    node1.next = node2;
    
    // 连接相同父节点的两个子节点
    traverse(node1.left, node1.right);
    traverse(node2.left, node2.right);
    // 连接跨越父节点的两个子节点
    traverse(node1.right, node2.left);
}

这样,traverse 函数遍历整棵「三叉树」,将所有相邻节的二叉树节点都连接起来,也就避免了我们之前出现的问题,把这道题完美解决。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

嗯,好像没有什么特别好的思路,所以这道题无法使用「分解问题」的思维来解决。

第三题、将二叉树展开为链表

这是力扣第 114 题「将二叉树展开为链表open in new window」,看下题目:

114. 二叉树展开为链表 | 力扣 open in new window | LeetCode open in new window |

给你二叉树的根结点 root ,请你将它展开为一个单链表:

  • 展开后的单链表应该同样使用 TreeNode ,其中 right 子指针指向链表中下一个结点,而左子指针始终为 null
  • 展开后的单链表应该与二叉树 先序遍历 顺序相同。

示例 1:

输入:root = [1,2,5,3,4,null,6]
输出:[1,null,2,null,3,null,4,null,5,null,6]

示例 2:

输入:root = []
输出:[]

示例 3:

输入:root = [0]
输出:[0]

提示:

  • 树中结点数在范围 [0, 2000]
  • -100 <= Node.val <= 100

进阶:你可以使用原地算法(O(1) 额外空间)展开这棵树吗?

函数签名如下:

java 🟢
void flatten(TreeNode root);

1、这题能不能用「遍历」的思维模式解决

乍一看感觉是可以的:对整棵树进行前序遍历,一边遍历一边构造出一条「链表」就行了:

java 🟢
// 虚拟头节点,dummy.right 就是结果
TreeNode dummy = new TreeNode(-1);
// 用来构建链表的指针
TreeNode p = dummy;

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 前序位置
    p.right = new TreeNode(root.val);
    p = p.right;

    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}

但是注意 flatten 函数的签名,返回类型为 void,也就是说题目希望我们在原地把二叉树拉平成链表。

这样一来,没办法通过简单的二叉树遍历来解决这道题了。

2、这题能不能用「分解问题」的思维模式解决

我们尝试给出 flatten 函数的定义:

java 🟢
// 定义:输入节点 root,然后 root 为根的二叉树就会被拉平为一条链表
void flatten(TreeNode root);

有了这个函数定义,如何按题目要求把一棵树拉平成一条链表?

对于一个节点 x,可以执行以下流程:

1、先利用 flatten(x.left)flatten(x.right)x 的左右子树拉平。

2、将 x 的右子树接到左子树下方,然后将整个左子树作为右子树。

这样,以 x 为根的整棵二叉树就被拉平了,恰好完成了 flatten(x) 的定义。

直接看代码实现:

java 🟢
// 定义:将以 root 为根的树拉平为链表
void flatten(TreeNode root) {
    // base case
    if (root == null) return;
    
    // 利用定义,把左右子树拉平
    flatten(root.left);
    flatten(root.right);

    /**** 后序遍历位置 ****/
    // 1、左右子树已经被拉平成一条链表
    TreeNode left = root.left;
    TreeNode right = root.right;
    
    // 2、将左子树作为右子树
    root.left = null;
    root.right = left;

    // 3、将原先的右子树接到当前右子树的末端
    TreeNode p = root;
    while (p.right != null) {
        p = p.right;
    }
    p.right = right;/**<extend up -50><div class="img-content"><img src="/algo/images/二叉树系列/2.jpeg" class="myimage"/></div> */
}

你看,这就是递归的魅力,你说 flatten 函数是怎么把左右子树拉平的?

不容易说清楚,但是只要知道 flatten 的定义如此并利用这个定义,让每一个节点做它该做的事情,然后 flatten 函数就会按照定义工作。

至此,这道题也解决了,我们前文 k个一组翻转链表 的递归思路和本题也有一些类似。

最后,首尾呼应,再次默写二叉树解题总纲。

二叉树解题的思维模式分两类:

1、是否可以通过遍历一遍二叉树得到答案?如果可以,用一个 traverse 函数配合外部变量来实现,这叫「遍历」的思维模式。

2、是否可以定义一个递归函数,通过子问题(子树)的答案推导出原问题的答案?如果可以,写出这个递归函数的定义,并充分利用这个函数的返回值,这叫「分解问题」的思维模式。

无论使用哪种思维模式,你都需要思考:

如果单独抽出一个二叉树节点,它需要做什么事情?需要在什么时候(前/中/后序位置)做?其他的节点不用你操心,递归函数会帮你在所有节点上执行相同的操作。

希望你能仔细体会,并运用到所有二叉树题目上。

本文就到这里,更多经典的二叉树习题以及递归思维的训练,请参见二叉树章节中的 递归专项练习


引用本文的文章


引用本文的题目

安装 我的 Chrome 刷题插件open in new window 点开下列题目可直接查看解题思路:

LeetCode力扣
-剑指 Offer 26. 树的子结构open in new window
-剑指 Offer 27. 二叉树的镜像open in new window

《labuladong 的算法笔记》已经出版,关注公众号查看详情;后台回复「全家桶」可下载配套 PDF 和刷题全家桶

上次编辑于: