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labuladong约 14338 字大约 48 分钟数组双指针二分查找核心框架

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算法可视化编辑器上线,点击体验open in new window

读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便解决如下题目:

LeetCode力扣难度
34. Find First and Last Position of Element in Sorted Arrayopen in new window34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置open in new window🟠
704. Binary Searchopen in new window704. 二分查找open in new window🟢
-剑指 Offer 53 - I. 在排序数组中查找数字 Iopen in new window🟢

Tip

本文有视频版:二分搜索核心框架套路open in new window。建议关注我的 B 站账号,我会用视频领读的方式带大家学习那些稍有难度的算法技巧。

本文是公众号文章 二分搜索详解open in new window 的修订版,添加了对二分搜索算法更详细的分析。

先给大家讲个笑话乐呵一下:

有一天阿东到图书馆借了 N 本书,出图书馆的时候,警报响了,于是保安把阿东拦下,要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下,以找出引发警报的书,但是保安露出不屑的眼神:你连二分查找都不会吗?

于是保安把书分成两堆,让第一堆过一下报警器,报警器响,这说明引起报警的书包含在里面;于是再把这堆书分成两堆,把第一堆过一下报警器,报警器又响,继续分成两堆……

最终,检测了 logN 次之后,保安成功的找到了那本引起警报的书,露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。

从此,图书馆丢了 N - 1 本书(手动狗头)。

二分查找并不简单,Knuth 大佬(发明 KMP 算法的那位)都说二分查找:思路很简单,细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿,但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题,而是在于到底要给 mid 加一还是减一,while 里到底用 <= 还是 <

你要是没有正确理解这些细节,写二分肯定就是玄学编程,有没有 bug 只能靠菩萨保佑,谁写谁知道。我特意写了一首诗来歌颂该算法,概括本文的主要内容,建议保存(手动狗头):

本文就来探究几个最常用的二分查找场景:寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且,我们就是要深入细节,比如不等号是否应该带等号,mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因,保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

另外再声明一下,对于二分搜索的每一个场景,本文还会探讨多种代码写法,目的是为了让你理解出现这些细微差异的本质原因,最起码你看到别人的代码时不会懵逼。实际上这些写法没有优劣之分,你喜欢哪种就用哪种好了。

零、二分查找框架

java 🟢
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是:不要出现 else,而是把所有情况用 else if 写清楚,这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if,旨在讲清楚,读者理解后可自行简化。

其中 ... 标记的部分,就是可能出现细节问题的地方,当你见到一个二分查找的代码时,首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外提前说明一下,计算 mid 时需要防止溢出,代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同,但是有效防止了 leftright 太大,直接相加导致溢出的情况。

一、寻找一个数(基本的二分搜索)

这个场景是最简单的,可能也是大家最熟悉的,即搜索一个数,如果存在,返回其索引,否则返回 -1。

java 🟢
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}

这段代码可以解决力扣第 704 题「二分查找open in new window」,但我们深入探讨一下其中的细节。

1、为什么 while 循环的条件中是 <=,而不是 <

答:因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1,即最后一个元素的索引,而不是 nums.length

这二者可能出现在不同功能的二分查找中,区别是:前者相当于两端都闭区间 [left, right],后者相当于左闭右开区间 [left, right)。因为索引大小为 nums.length 是越界的,所以我们把 right 这一边视为开区间。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间

什么时候应该停止搜索呢?当然,找到了目标值的时候可以终止:

    if(nums[mid] == target)
        return mid; 

但如果没找到,就需要 while 循环终止,然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止,意味着你没得找了,就等于没找到嘛。

while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1,写成区间的形式就是 [right + 1, right],或者带个具体的数字进去 [3, 2],可见这时候区间为空,因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的,直接返回 -1 即可。

while(left < right) 的终止条件是 left == right,写成区间的形式就是 [right, right],或者带个具体的数字进去 [2, 2]这时候区间非空,还有一个数 2,但此时 while 循环终止了。也就是说区间 [2, 2] 被漏掉了,索引 2 没有被搜索,如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然,如果你非要用 while(left < right) 也可以,我们已经知道了出错的原因,就打个补丁好了:

    //...
    while(left < right) {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1;

2、为什么 left = mid + 1right = mid - 1?我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid,没有这些加加减减,到底怎么回事,怎么判断

答:这也是二分查找的一个难点,不过只要你能理解前面的内容,就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念,而且本算法的搜索区间是两端都闭的,即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时,下一步应该去搜索哪里呢?

当然是去搜索区间 [left, mid-1] 或者区间 [mid+1, right] 对不对?因为 mid 已经搜索过,应该从搜索区间中去除

3、此算法有什么缺陷

答:至此,你应该已经掌握了该算法的所有细节,以及这样处理的原因。但是,这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]target 为 2,此算法返回的索引是 2,没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界,即索引 1,或者我想得到 target 的右侧边界,即索引 3,这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见,你也许会说,找到一个 target,然后向左或向右线性搜索不行吗?可以,但是不好,因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二、寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式,其中的标记是需要注意的细节:

java 🟢
int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意
    
    while (left < right) { // 注意
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

1、为什么 while 中是 < 而不是 <=?

答:用相同的方法分析,因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right,此时搜索区间 [left, left) 为空,所以可以正确终止。

相关信息

这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别,也是很多读者问的:刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗,为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢

因为对于搜索左右侧边界的二分查找,这种写法比较普遍,我就拿这种写法举例了,保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单,我会在后面写相关的代码,把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来,你耐心往后看就行了。

2、如果 nums 中不存在 target 这个值,计算出来的这个索引含义是什么?如果我想让它返回 -1,怎么做

当 `target` 不存在时,`left_bound` 返回值的含义

这是一个很好且很重要的问题,你把这个地方理解了,在二分搜索的实际应用场景中就不会懵逼。

直接说结论:如果 target 不存在,搜索左侧边界的二分搜索返回的索引是大于 target 的最小索引

举个例子,nums = [2,3,5,7], target = 4left_bound 函数返回值是 2,因为元素 5 是大于 4 的最小元素。

有点绕晕了是吧?这个 left_bound 函数明明是搜索左边界的,但是当 target 不存在的时候,却返回的是大于 target 的最小索引。这个结论不用死记,你要是拿不准,简单举个例子就能得到这个结论了。

所以跟你说二分搜索这个东西思路很简单,细节是魔鬼嘛,里面的坑太多了。要是真想考你,总有办法可以把你考到怀疑人生。

不是我故意把代码模板总结的这么复杂,而是二分搜索本身就很复杂,这些细节是不可能绕开的,如果你之前没有了解过这些细节,只能说明你之前学得不扎实。就算不用我总结的模板,你也必须搞清楚当 target 不存在时算法的行为,否则出了 bug 你都不知道咋改,真有这么严重。

话说回来,left_bound 的这个行为有一个好处。比方说现在让你写一个 floor 函数:

// 在一个有序数组中,找到「小于 target 的最大元素的索引」
// 比如说输入 nums = [1,2,2,2,3],target = 2,函数返回 0,因为 1 是小于 2 的最大元素。
// 再比如输入 nums = [1,2,3,5,6],target = 4,函数返回 2,因为 3 是小于 4 的最大元素。
int floor(int[] nums, int target);

那么就可以直接用 left_bound 函数来实现:

int floor(int[] nums, int target) {
    // 当 target 不存在,比如输入 [4,6,8,10], target = 7
    // left_bound 返回 2,减一就是 1,元素 6 就是小于 7 的最大元素
    // 当 target 存在,比如输入 [4,6,8,8,8,10], target = 8
    // left_bound 返回 2,减一就是 1,元素 6 就是小于 8 的最大元素
    return left_bound(nums, target) - 1;
}

最后,我的建议是,如果你必须手写二分代码,那么你一定要了解清楚代码的种种行为,本文总结的框架就是在帮你理清这里面的细节。如果非必要,不要自己手写,尽肯能用编程语言提供的标准库函数,可以节约时间,而且标准库函数的行为在文档里都有明确的说明,不容易出错。

如果想让 target 不存在时返回 -1 其实很简单,在返回的时候额外判断一下 nums[left] 是否等于 target 就行了,如果不等于,就说明 target 不存在。需要注意的是,访问数组索引之前要保证索引不越界:

while (left < right) {
    //...
}
// 如果索引越界,说明数组中无目标元素,返回 -1
if (left < 0 || left >= nums.length) {
    return -1;
}
// 提示:其实上面的 if 中 left < 0 这个判断可以省略,因为对于这个算法,left 不可能小于 0
// 你看这个算法执行的逻辑,left 初始化就是 0,且只可能一直往右走,那么只可能在右侧越界
// 不过我这里就同时判断了,因为在访问数组索引之前保证索引在左右两端都不越界是一个好习惯,没有坏处
// 另一个好处是让二分的模板更统一,降低你的记忆成本,因为等会儿寻找右边界的时候也有类似的出界判断


// 判断一下 nums[left] 是不是 target
return nums[left] == target ? left : -1;

3、为什么 left = mid + 1right = mid ?和之前的算法不一样

答:这个很好解释,因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开,所以当 nums[mid] 被检测之后,下一步应该去 mid 的左侧或者右侧区间搜索,即 [left, mid)[mid + 1, right)

4、为什么该算法能够搜索左侧边界

答:关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理:

    if (nums[mid] == target)
        right = mid;

可见,找到 target 时不要立即返回,而是缩小「搜索区间」的上界 right,在区间 [left, mid) 中继续搜索,即不断向左收缩,达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回 left 而不是 right

答:都是一样的,因为 while 终止的条件是 left == right

6、能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1,也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」?这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了

答:当然可以,只要你明白了「搜索区间」这个概念,就能有效避免漏掉元素,随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改:

因为你非要让搜索区间两端都闭,所以 right 应该初始化为 nums.length - 1,while 的终止条件应该是 left == right + 1,也就是其中应该用 <=

java 🟢
int left_bound(int[] nums, int target) {
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

因为搜索区间是两端都闭的,且现在是搜索左侧边界,所以 leftright 的更新逻辑如下:

java 🟢
if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

和刚才相同,如果想在找不到 target 的时候返回 -1,那么检查一下 nums[left]target 是否相等即可:

java 🟢
// 此时 target 比所有数都大,返回 -1
if (left == nums.length) return -1;
// 判断一下 nums[left] 是不是 target
return nums[left] == target ? left : -1;

至此,整个算法就写完了,完整代码如下:

java 🟢
int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 判断 target 是否存在于 nums 中
    // 如果越界,target 肯定不存在,返回 -1
    if (left < 0 || left >= nums.length) {
        return -1;
    }
    // 判断一下 nums[left] 是不是 target
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了,都是两端都闭的「搜索区间」,而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑,两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

三、寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法,这里也会提供两种写法,还是先写常见的左闭右开的写法,只有两处和搜索左侧边界不同:

java 🟢
int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}

1、为什么这个算法能够找到右侧边界

答:类似地,关键点还是这里:

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

nums[mid] == target 时,不要立即返回,而是增大「搜索区间」的左边界 left,使得区间不断向右靠拢,达到锁定右侧边界的目的。

2、为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数,返回 left?而且我觉得这里既然是搜索右侧边界,应该返回 right 才对

答:首先,while 循环的终止条件是 left == right,所以 leftright 是一样的,你非要体现右侧的特点,返回 right - 1 好了。

至于为什么要减一,这是搜索右侧边界的一个特殊点,关键在锁定右边界时的这个条件判断:

// 增大 left,锁定右侧边界
if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1,就是说 while 循环结束时,nums[left] 一定不等于 target 了,而 nums[left-1] 可能是 target

至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1,当然是为了把 nums[mid] 排除出搜索区间,这里就不再赘述。

3、如果 nums 中不存在 target 这个值,计算出来的这个索引含义是什么?如果我想让它返回 -1,怎么做

当 `target` 不存在时,`right_bound` 返回值的含义

直接说结论,和前面讲的 left_bound 相反:如果 target 不存在,搜索右侧边界的二分搜索返回的索引是小于 target 的最大索引

这个结论不用死记,你要是拿不准,简单举个例子就能得到这个结论了。比如 nums = [2,3,5,7], target = 4right_bound 函数返回值是 1,因为元素 3 是小于 4 的最大元素。

与前面的建议相同,考虑到二分搜索代码细节的复杂性,如果非必要,不要自己手写,尽肯能用编程语言提供的标准库函数。

如果你想在 target 不存在时返回 -1,很简单,只要在最后判断一下 nums[left-1] 是不是 target 就行了,类似之前的左侧边界搜索,做一点额外的判断即可:

java 🟢
while (left < right) {
    // ...
}
// 判断 target 是否存在于 nums 中
// left - 1 索引越界的话 target 肯定不存在
if (left - 1 < 0 || left - 1 >= nums.length) {
    return -1;
}
// 判断一下 nums[left - 1] 是不是 target
return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;

4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢?这样这三个写法就完全统一了,以后就可以闭着眼睛写出来了

答:当然可以,类似搜索左侧边界的统一写法,其实只要改两个地方就行了:

java 🟢
int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后改成返回 left - 1
    if (left - 1 < 0 || left - 1 >= nums.length) {
        return -1;
    }
    return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;
}

当然,由于 while 的结束条件为 right == left - 1,所以你把上述代码中的 left - 1 都改成 right 也没有问题,这样可能更有利于看出来这是在「搜索右侧边界」:

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后改成返回 right
    if (right < 0 || right >= nums.length) {
        return -1;
    }
    return nums[right] == target ? right : -1;
}

至此,搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了,其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆,你说是吧?

四、逻辑统一

有了搜索左右边界的二分搜索,你可以去解决力扣第 34 题「在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置open in new window」。接下来梳理一下这些细节差异的因果逻辑:

第一个,最基本的二分查找算法

因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

第二个,寻找左侧边界的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

第三个,寻找右侧边界的二分查找

因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid

因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right,必须减一

对于寻找左右边界的二分搜索,比较常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」,我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭,便于记忆,只要修改两处即可变化出三种写法

java 🟢
int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1; 
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1; 
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回,锁定左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 判断 target 是否存在于 nums 中
    if (left < 0 || left >= nums.length) {
        return -1;
    }
    // 判断一下 nums[left] 是不是 target
    return nums[left] == target ? left : -1;
}

int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回,锁定右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    // 由于 while 的结束条件是 right == left - 1,且现在在求右边界
    // 所以用 right 替代 left - 1 更好记
    if (right < 0 || right >= nums.length) {
        return -1;
    }
    return nums[right] == target ? right : -1;
}

如果以上内容你都能理解,那么恭喜你,二分查找算法的细节不过如此。通过本文,你学会了:

1、分析二分查找代码时,不要出现 else,全部展开成 else if 方便理解。把逻辑写对之后再合并分支,提升运行效率。

2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件,如果存在漏掉的元素,记得在最后检查。

3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界,只要在 nums[mid] == target 时做修改即可,搜索右侧时需要减一。

4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭,好记,只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可,推荐拿小本本记下,作为二分搜索模板。

最后我想说,以上二分搜索的框架属于「术」的范畴,如果上升到「道」的层面,二分思维的精髓就是:通过已知信息尽可能多地收缩(折半)搜索空间,从而增加穷举效率,快速找到目标。

理解本文能保证你写出正确的二分查找的代码,但实际题目中不会直接让你写二分代码,我会在 二分查找的运用二分查找的更多习题 中进一步讲解如何把二分思维运用到更多算法题中。


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